Konsep Dasar Trigonometri | Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku

Pada tulisan ini kami akan membahas tentang salah satu materi yang dipelajari di kelas X matematika wajib yaitu konsep dasar trigonometri. Materi ini adalah bahasan pertama untuk materi kosep dasar trigonometri. Pada tulisan ini akan kita bahas beberapa hal penting yang akan menjadi materi prasyarat dan dasar dari trigonometri yang wajib kalian kuasai untuk bisa melanjutkan ke materi ke tingkat yang berikutnya, materi dasar terbut adalah diantara: konsep sudut, satuan sudut meliputi satuan derajat dan satuan radian, hubungan satuan derajat dengan satuan radian dan bagaimana cara konversi satuan derajat ke satuan radian serta cara konversi satuan radian ke satuan derajat, dan kita juga akan belajar perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. 

Sudut

Di SMP atau MTs tentunya kalian pernah mempelajari materi tentang kesebangunan, kongruensi, serta Teorema Pyhtagoras. Materi - materi tersebut akan sangat membantu kalian dalam mempelajari materi tentang perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri yang utama meliputi perbandingan sinus, cosinus dan perbandingan tangen. Sebelum kita mempelajari materi - materi tersebut yang perlu diketahui atau kita pelajari terlebih dahulu adalah materi atau konsep tentang sudut.

"Sudut merupakan suatu bangun datar yang dibatasi oleh dua sunar (garis) yang bersekutuan pada garis pangkalnya." Sudut bernilai positif jika arah putarannya berlawanan arah jarum jam, dan bernilai positif jika arah putarannya searah jarum jam.

Ukuran Sudut (Satuan Sudut)

Ukuran besar suatu sudut dapat dinyatakan dengan dua satuan, yaitu satuan derajat dan satuan radian.

Satuan derajat

Satu putaran sama dengan 360∘, maka 1∘dapat di definisikan sebagai 1360 putaran, atau dapat ditulis:

1 putaran =360∘⇔1∘=1360putaran

Satuan radian

Satuan radian dapat didefinisikan sebagai panjang busur dan jari-jadi suatu lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dan penjelasan di bawah ini.

Besar sudur AOB$AOB$ dalam satuan radian adalah perbandingan panjang busur AB$AB$ dengan jari-jari lingkaran (r)$(r)$

∠AOB=panjang ABr$\mathrm{\angle }AOB=\frac{\text{panjang AB}}{r}$ radian

Jika panjang busur sama dengan jari-jari (AB=r$AB=r$), maka akan diperoleh ukuran sadut 1 radian.

∠AOB=rr=1$\mathrm{\angle }AOB=\frac{r}{r}=1$ radian.

Jadi untuk besar sudut 1 radian dapat kita peroleh dengan membuat busur yang panjangnya sama dengan jari-jari.

Hubungan Satuan Derajat dan Satuan Radian

Perhatikan ilustrasi di bawah ini:

Jika sinar garis OA$OA$ diputar satu putaran, maka akan dipeoleh panjang busur AB$AB$ = keliling lingkaran = 2πr$2\pi r$, sehingga:

∠AOB=Busur ABr=2πrr=2π

Jika panjang busur sama dengan jari-jari (AB=r$AB=r$), maka akan diperoleh ukuran sadut 1 radian.

∠AOB=rr=1

Oleh karena 1 putaran =360∘$={360}^{\circ }$ maka diperoleh hubungan:

      

360∘=2π radian 

180∘=πradian
⇔180∘=$\pi$ radian

Dengan demikian kita peroleh:

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal 1

Nyatakan besar sudut berikut dalam satuan derajat:

1. 23 putaran
2. 34π radian
3. 56π radian

Penyelesaian:

Ingat: 

1 putaran =360∘, jadi untuk merubah "putaran" ke satuan derjat, kita kalikan dengan 360∘.

Sementara, untuk merubah satuan radian ke satuan derajat, kita kalikan dengan 180∘, karen π$\pi$ radian =180∘

1. 23 putaran =23×360∘=240∘$=\frac{2}{3}\times {360}^{\circ }={240}^{\circ }$
2. 34π radian =34×180∘=135∘$=\frac{3}{4}\times {180}^{\circ }={135}^{\circ }$
3. 56π radian =56×180∘=150∘$=\frac{5}{6}\times {180}^{\circ }={150}^{\circ }$

Soal 2

Nyatakan besar sudut berikut dalam satuan radian:

1. 23 putaran
2. 225∘
   
3. 330∘
   

Penyelesaian:

Ingat: 1 putaran = 2π radian, dan 1∘=π180 radian

1. 23 putaran =23×2π radian =43π radian
2. 225∘=225×π180${225}^{\circ }$ radian =45π radian
3. 330∘=330×π180${330}^{\circ }$ radian =116π radian

Perbandingan trigonometri Pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga siku-siku, terdapat dua sisi yang saling tegak lurus dan satu sisi terpanjang yang disebut hipotenusa (pada tulisan ini kita sebut saja hipotenusa sebagai sisi miring) seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Setiap perbandingan pasangan sisi pada segitiga siku-siku mempunyai nama tertentu, yaitu: sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan dan cotangen. Berikut ini perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku:

• sinα=depanmiring$\sin \alpha ="<b>Demi"</b>\; (sisi\; depan\; dibagi\; sisi\; miring)$
• cosα=sampingmiring$\cos \alpha =\; "<b>Sami"</b>$(sisi samping dibagi sisi miring)
• tanα=depansamping$\tan \alpha =\; "<b>Desa"</b>$(sisi depan dibagi sisi samping)

Untuk mudah mengingat ketiga perbandingan di atas, ingat kalimat berikut: "sin"Demi" cos"Sami" tan"Desa" maksudnya, sin perbadingan depan per miring, cos perbandingan samping per miring dan tan perbandingan depan per samping.

Untuk tiga perbandingan lainnya, yaitu cosecan, secan dan cotangen yang perlu diingat adalah cosecan adalah kebalikan dari sin, secan kebalikan dari cos, dan cotangen adalah kebalikan dari tan. Misal, jika diketahui sinα=23$\sin \alpha =\frac{2}{3}$, maka cscα=32$\csc \alpha =\frac{3}{2}$. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Soal 3:

Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini

Tentukanlah:

1. sinα$\sin \alpha$
2. cosα$\cos \alpha$
3. tanα$\tan \alpha$
4. cscα$\csc \alpha$
5. secα$\sec \alpha$
6. cotα$\cot \alpha$

Penyelesaian:

Pada gambar segitiga di atas, sisi miring (hipotenusa) panjangnya belum diketahui, jadi perlu kita cari terlebih dahulu menggunkan teorema pythagoras.

miring=32+22−−−−−−√=9+4−−−−√=13−−√$\begin{array}{rl}\text{miring}& =\sqrt{3^2+2^2}\\ & =\sqrt{9+4}\\ & =\sqrt{13}\end{array}$

Jadi,

1. sinα=213√=21313−−√
   
2. cosα=313√=31313−−√
   
3. tanα=23
   
4. cscα=13√2
   
5. secα=13√3
   
6. cotα=32
   

Demikian penjelasan singkat dari konsep dasar trigonometri meliputi; satuan sudut beserta cara konversinya, hubungan antara satuan derajat dan satuan radian,dan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.